První hokejové krůčky udělal rodák ze Slaného v Lounech. Pro další rozvoj se ovšem přesunul do Kladna, kde v dorostu ukázal, jak umí být produktivní. V mládeži Rytířů ale vydržel pouze necelé čtyři sezony. V 16 letech se rozhodl odejít z Česka a nabírat zkušenosti ve Finsku. Usadil se v organizaci Pelicans Lahti.
Ve finském klubu prožil Adam osobně povedené ročníky v dorostu i juniorce a díky svým výkonům si řekl také o šanci ve finské nejvyšší soutěži. Sezona 2023/24 byla pro mladého útočník zatím nejúspěšnější. Od trenérů juniorské reprezentace totiž dostal nominaci na mistrovství světa hráčů do 20 let ve Švédsku, kde česká dvacítka získala bronzové medaile. Bareš ke třetímu místu na turnaji přispěl gólem a dvěma asistencemi.
Největšího prostoru u Pelicans se dočkal v ročníku 2024/25, kdy vedle juniorky pravidelně hrál také Liigu za A-tým. Za hlavní mužstvo Lahti nastoupil do celkem 37 zápasů, ve kterých si připsal dva góly.
Po pěti letech ve Finsku Adam pocítil, že potřebuje změnit prostředí. Naskytla se mu možnost vrátit se do dobře známého Kladna, kde také od sezony 2025/26 působí.
