Ačkoliv se se Kelly Klíma narodil českým rodičům, dětství i dospívání prožil převážně v USA. Rodák z Tampy Bay je synem bývalého střelce NHL a vítěze Stanley Cupu Petra Klímy. V otcových stopách šel společně se svým bratrem dvojčetem Kevinem, s nímž prošel americkým výchovným programem, kanadskou juniorkou a následně i prvním profesionálním angažmá v American Hockey League.
Kelly na rozdíl od sourozence, který se dřív odebral za hokejem do Česka, přidal ještě jednu sezonu v klubu Tucson Roadrunners, tehdejší farmy klubu Arizona Coyotes. Cesty bratrů Klímových se ovšem znovu sešly, a to již v zemi jejich předků. Vzhledem téměř nerozeznatelná dvojčata společně nastupovala v extralize za Hradec Králové.
Klímovi vydrželi na stejné adrese v Česku necelé tři roky. V lednu 2023 se Kelly opět vydal jiným směrem, když dohrával sezonu 2022/23 v Mladé Boleslavi. Následující dva ročníky nastupoval v extralize za Liberec, kde patřil mezi stabilní členy sestavy Bílých Tygrů.
Po dvou letech pod Ještědem Kelly zamířil za novou výzvou do Kladna, kde prožil osobně zatím nejpovedenější sezonu v české nejvyšší soutěži. V 50 zápase v dresu Rytířů si připsal 30 kanadských bodů za 14 gólů a 16 asistencí.
